Rabu, 12 Maret 2014

Relasi

Relasi

Relasi, dalam matematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Definisi

 

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A keB adalah subhimpunan dari A×B.
R_{AB} \subseteq A \times B

Relasi dan fungsi proposisi

 

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunanW = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisiw(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

Relasi A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
  • Refleksif
  • Irefleksif
  • Simetrik
  • Anti-simetrik
  • Transitif
Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri.
\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R
atau
\forall_{a \in A}\quad a R a
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan xdan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R
atau
\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a)
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota Aberhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R
atau
\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a
Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi adan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)
atau
\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.
\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b
atau
\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b
Relasi \leq bersifat anti-simetrik, karena 5 \leq 6 mengakibatkan \lnot (6 \leq 5). Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku p \leq q dan q \leq pberarti p = q.

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan bberhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.
(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R
atau
\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}
Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:
  • Refleksif
  • Simetrik, dan
  • Transitif
Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:
  • Refleksif
  • Anti-simetrik, dan
  • Transitif
Diposting oleh Unknown di 21.57

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)